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\documentclass[latin1,nodate]{prof}      
\param{Durée : 3 heures}{Préparation au bac ES}{} 

\begin{document}
\textbf{Ce sujet se compose de quatre exercices, pages 1 à 3, d'une première annexe, page 4 et d'une seconde annexe, pages 5 et 6, qui sera jointe à la copie.}
 \medskip
 
\exo[point=5]

\medskip
 On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormal, la courbe représentative $\Gamma$ d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $\mathbf{R}$. La courbe $\Gamma$ passe par les points O(0 ; 0) et A (2 ; 2).
 
 La droite (AB) est la tangente en A à la courbe $\Gamma$. La tangente à $\Gamma$ au point C d'abscisse $1$ est parallèle à l'axe des abscisses. 

\medskip   
\begin{center} 
\begin{tikzpicture}
    \tkzinit[xmin=-2,xmax=8,ymin=-5,ymax=5]
     \tkzgrid[sub,subxstep=.5,subystep=.2](-2,-5)(8,5)
    \tkzx
    \tkzy
    \tkzfct[label=false,samples=200](-0.5..7.5){x*exp(2-x)}
     \draw[](-1,5) -- (8,-4);
    \draw[>=latex,<->](0,2.718) -- (2,2.718);
    \tkzpt(2,2){A};
    \tkzpt(4,0){B};
    \tkzpt(1,2.718){C};
    \tkzpt[style=below left](0,0){O};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $g(0),~ g(2),~ g'(1),~ g'(2)$.
\item L'une des représentations graphiques présentées sur l'annexe 1 est celle de la fonction dérivée $g'$ de $g$ et une autre est celle d'une primitive $G$ de $g$ sur $\mathbf{R}$.

Déterminer la courbe associée à la fonction $g'$ et celle associée à $G$ ; vous justifierez votre
 choix à l'aide d'arguments (comme des tableaux de signes ou de variations) basés sur l'examen des représentations graphiques.
\item On suppose que la fonction $g$ est de la forme : \[g(x) = (x + a)\text{e}^{bx+c}\]
où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.
\begin{enumerate}
\item  Déduire de la question 1 que $a = 0$ et que $c = -2b$.
\item Calculer $g'(x)$ en fonction de $b$ et de $x$.
\item En déduire que $g(x)=x\,\text{e}^{-x+2}$.
\end{enumerate}
\item La fonction $G$ définie par \[G(x) = - (x+ 1)\text{e}^{2-x}\] est une primitive de $g$ sur $\mathbf{R}$.

Calculer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$.

\end{enumerate}
\vfill\newpage


\exo[point=5]


Lors d'un examen, Julien doit répondre à un exercice avec des questions à choix multiples.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Pour chaque question, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte.
\item[$\bullet$] Pour chaque question, 
\begin{itemize}
\item soit il connaît la réponse et il répond de façon exacte, 
\item soit il ne la connaît pas et il répond au hasard ; il a alors une chance sur trois que sa réponse soit exacte.
\end{itemize}
\item[$\bullet$] On suppose que la probabilité que Julien connaisse la réponse à une question donnée est d'une chance sur deux.
\end{itemize}

\medskip
On note	:
\begin{itemize} 
\item[$\bullet$]C l'événement \og Julien connaît la réponse \fg{};
\item [$\bullet$] E l'événement \og la réponse est exacte \fg{}.
\end{itemize} 
 \vspace{5pt}

\begin{enumerate}
\item Julien répond à une question de l'exercice.
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation (cet arbre partira de la première alternative : il connaît ou non la réponse à la question).
\item Démontrer que : $p(\text{E}) = \dfrac{2}{3}$.
\item Calculer la probabilité que Julien connaisse la réponse à la question sachant que sa réponse est exacte.
\end{enumerate} 
\item L'exercice posé à cet examen est composé de trois questions indépendantes. Il est noté sur 3 points. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0. Soit $X$ la note obtenue par Julien à cet exercice. 
\begin{enumerate}
\item Dessiner un arbre modélisant cette situation probabiliste.
\item Donner la loi de probabilité de $X$ ; les résultats seront donnés sous forme de fractions.
\item Quelle est la probabilité que Julien obtienne au moins 1,5 point à cet exercice ?
\item Quelle note, arrondie au centième, Julien peut-il espérer à cet exercice ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{10pt}

\qquad \hrulefill\qquad\vspace{10pt}

\exo[point=5]
\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de personnes \^agées de plus de 85 ans, en France métropolitaine, de 1950 à 2000.

 On note $X_{i}$ l'année. L'indice $i$ varie de 1 à 11. Par commodité on pose $x_{i} = X_{i} - \nombre{1950}.$
 
 $ y_{i}$ désigne, en milliers, le nombre de personnes âgées de 85 ans ou plus, au 1\textsuperscript{er} janvier de l'année $X_{i}$.

\[\begin{array}{|l|*{11}{c|}}\hline
X_{i}&1950 &	1955 & 	1960& 	1965& 	1970& 	1975& 	1980& 	1985& 	1990& 	1995& 	2000\\ \hline
x_{i}&0&	5&	10&	15&	20&	25&	30&	35&	40&	45& 	50\\ \hline
y_{i}&	201& 	231& 	290& 	361& 	423& 	498 &	567 &	684 &	874 &	1\,079 &	1\,267\\ \hline
\end{array}\]
\begin{center}{ \small\emph{Source :  Insee, bilan démographique} -- Champ : France métropolitaine.}\end{center}
\vspace{10pt}

\begin{enumerate}
\item  Estimation à l'aide d'un graphique semi-logarithmique
\begin{enumerate}
\item	Compléter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~ ;~ y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans le repère semi-logarithmique fourni en annexe 2, page  5.
\item	Construire sur ce graphique la droite passant par les points M$_{1}(0~;~ 201)$ et
M$_{11}(50~;~ \nombre{1267})$ et justifier que l'ajustement du nuage à l'aide de cette droite est satisfaisant.
\item	En supposant que cet ajustement affine reste pertinent, déterminer graphiquement à partir de quelle année le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions.
\end{enumerate}
\newpage
\item La forme du nuage obtenu avec la représentation logarithmique invite à chercher un
ajustement exponentiel. On pose $z = \ln(y)$.
\begin{enumerate}
\item Compléter la dernière ligne du tableau fourni en annexe 2, page 5. Arrondir les résultats au millième.
\item En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au millième.
\item En déduire une modélisation de $y$ en fonction de $x$ sous la forme \[y = A\text{e}^{Bx}\qquad \text{\emph (le réel $A$ sera arrondi à l'unité et le réel $B$ au millième).}\]
\end{enumerate}

\item On admet que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 70] par : \[f(x) = 200\,\text{e}^{0,037x}\] modélise de façon satisfaisante l'évolution de cette population.

Résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant  2\,000$ et interpréter ce résultat.

\end{enumerate}
\vspace{10pt}

\qquad \hrulefill\qquad\vspace{10pt}

\exo[point=5]

\medskip

 Une nouvelle console de jeux est mise sur le marché. Soit $x$ le prix unitaire en centaines d'euros de cette console. La fonction d'offre des fournisseurs (en milliers de consoles) est la fonction $f$  définie sur ]0 ; 6] par 
\[f(x) = 0,7 \text{e}^{0,5x+2}\]
 où $f(x)$ est  la quantité proposée par les fournisseurs pour un prix unitaire de $x$.
 La fonction de demande des consommateurs (en milliers de consoles) est la fonction $g$ définie sur ]0 ; 6] par 
\[g(x) = 10 \ln \left(\dfrac{20}{x}\right) \]
 où $g(x)$ est la quantité demandée par les consommateurs pour un prix unitaire de $x$.

\begin{enumerate}
\item Les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal fourni en annexe 2, page 6.
\begin{enumerate}
\item Identifiez les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sur la feuille annexe 2, page 6. Expliquez votre choix.
\item Marquer et relever sur le graphique les coordonnées $\left(x_{\text{A}}~;~y_{\text{A}}\right)$ du point A. Que représente ce point A d'un point de vue économique ? 
\end{enumerate}
\item Pour déterminer les coordonnées de A de façon précise, on est amené à résoudre l'équation $f(x) = g(x)$. Pour y parvenir, on pose, pour tout $x$ appartenant à [2 ; 3],\[h(x) = f(x) - g(x).\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $h'(x) = 0,35\text{e}^{0,5x + 2} + \dfrac{10}{x}$.
\item Déterminer le signe de la dérivée $h'$ et en déduire que la fonction $h$ est croissante sur [2 ; 3].
\item Démontrer par vos connaissance de cours (et non par lecture graphique) que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $x_{1}$ sur l'intervalle $[2~;~3]$.

\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur arrondie au dixième de $x_{1}$.
\item En déduire le prix unitaire d'équilibre de cette console  en euros et le nombre de consoles disponibles à ce prix (arrondir à la centaine).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{10pt}

\qquad \hrulefill\qquad\vspace{10pt}

\begin{center}\large{ FIN}\end{center}

\newpage

\textbf{Annexe 1 : cette feuille n'est pas à rendre avec la copie}

\begin{center} 

\bigskip

\textbf{Courbes de l'exercice 1 - question 2}

\vspace{1cm}

\parbox{0.45\textwidth}{
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\tkzinit[xmin=-2,xmax=7,ymin=-6,ymax=6]
\tkzx
\tkzy
  \tkzfct[lw=0.8pt,samples=200](-1.4..6)%
     {0.5*(x-exp(1))*(-x-exp(1)/(1+exp(1)))*exp(-x)};
\end{tikzpicture}
Courbe 1}
 \hfill 
\parbox{0.45\textwidth}{
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  \tkzinit[xmin=-1,xmax=8,ymin=-2]
  \tkzx
  \tkzy
  \tkzfct[lw=0.8pt,samples=200](-0.15..7){(1-x)*exp(2-x)};
\end{tikzpicture}
Courbe 2}
% 
 \vspace{1cm}

 \parbox{0.45\textwidth}{
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
 \tkzinit[xmin=-2,xmax=7,ymin=-6,ymax=6]
 \tkzx
 \tkzy
  \tkzfct[lw=0.8pt,samples=200](-0.25..7){(1-x)*exp(1.5-x)-2};
\end{tikzpicture}
 Courbe 3}
 \hfill 
 \parbox{0.45\textwidth}{
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\tkzinit[xmin=-2,xmax=7,ymin=-8,ymax=4]
\tkzx
\tkzy
  \tkzfct[lw=0.8pt,samples=200](-1.15..7){(-1-x)*exp(2-x)};
\end{tikzpicture}
Courbe 4}

\end{center}

\newpage

\textbf{Annexe 2 -- à remettre avec la copie}

\vspace{10pt}

\begin{center}
\textbf{Exercice 3 -- questions 1 et 2}

\vspace{10pt}

\begin{tikzpicture}[yscale=1.5]
 \draw[thin,->] (0,0) -- (14,0) node[below left] {};
 \draw[thin,->] (0,0) -- (0,12) node[below left] {};
 \foreach \x/\xtext in {0/0,2/10,4/20,6/30,8/40,10/50,12/60,14/70}  \draw[shift={(\x,0)}] node[below] {$\xtext$ };
 \foreach \y/\z in {0/0,3/1,6/2,9/3,12/4}  \draw[shift={(0,\y)}] node[left] {$10^{\z}$};
 \foreach \x in {1,3,...,13}{ \draw[thin,gray] (\x,0)--(\x,12);}
 \foreach \x in {0,2,4,6,8,10,12,14}{ \draw[thin,gray] (\x,0)--(\x,12);}
 \foreach \y in {3,6,9,12} {\draw[thin,gray] (0,\y)--(14,\y);}
 \foreach \y in {0,3,6,9}{
 \foreach \z in {0.903,1.431,1.806,2.097,2.334,2.535,2.709,2.863} {\draw[thin,gray,shift={(0,\y)}] 
  (0,\z )--(14 ,\z);}}
\tkzpt[name=$M_{1}$](0,6.90){a};
\tkzpt[name=$M_{11}$](10,9.30){b};
 \end{tikzpicture}

\vfill
$\begin{array}{|l|*{11}{c|}}\hline
X_{i}&1950 &	1955 & 	1960& 	1965& 	1970& 	1975& 	1980& 	1985& 	1990& 	1995& 	2000\\ \hline
x_{i}&0&	5&	10&	15&	20&	25&	30&	35&	40&	45& 	50\\ \hline
y_{i}&	201& 	231& 	290& 	361& 	423& 	498 &	567 &	684 &	874 &	1\,079 &	1\,267\\ \hline
&&&&&&&&&&&\\ 
z_{i} = \ln\left(y_{i}\right)&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{array}$
\end{center}
\newpage


\textbf{Annexe 2 -- à remettre avec la copie}

\vspace{2cm}

\begin{center}\textbf{Exercice 4 -- question 1}

\vspace{2cm}


\begin{tikzpicture}[xscale=2]
\tkzinit[xmin=0,xmax=6,ymin=0,ymax=110,ystep=10]
\tkzgrid
\tkzx
\tkzy
\tkzfct[color=red](0.01..6){10*log(20/x)}
\tkzfct[color=blue](0..6){0.7*exp(2+x/2)}
\end{tikzpicture}

\end{center}

\end{document}