Partons du constat que le coefficient directeur d'une tangente à une courbe passe de $a$ à $\frac{1}{a}$ par symétrie d'axe $\Delta \,:\,(y=x)$. On peut regarder en exemple la fonction carré sur les positifs et sa réciproque racine carrée : la fonction qui à l'ordonnée $y=x^2$ fait correspondre le nombre dérivé $2x$ est $y \mapsto 2\sqrt{y}$ et par symétrie d'axe $\Delta$ elle devient $ x \mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$... on retrouve un résultat connu par ailleurs. En appliquant le même raisonnement à la fonction exponentielle nous exhibons la fonction $y \mapsto y'=y$ et par symétrie $x \mapsto \frac{1}{x}$ cette dernière est donc la fonction dérivée de la réciproque de l'exponentielle. Plus généralement, nous pouvons extrapoler que $y \mapsto f'(x)=f'(g(y))$, où $g$ est la réciproque de $f$, devient $x \mapsto \frac{1}{f'(g(x))}$

Fonction réciproque

Fonction logarithme