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Par : mathazay
Publié : 1er septembre 2005

Fractions sans fin

Voici un joyeux exercice avec les fractions. Accessible à tous, il suppose d’être attentif, patient et méthodique. Qui ne l’est pas ?

À vos calculatrices :-)

- Nous allons chercher à mettre $\sqrt{2}$ sous forme de fraction, nous pouvons écrire (avec des {abus} d'usage des égalités): - $\sqrt{2}=1+0,41421356237=1+\frac{1}{\frac{1}{0,41421356237}$ - $\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+0,41421356237}\approx 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ -$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{1}{0,41421356237}$ -$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+0,41421356237}}\approx 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\frac{7}{5}$ Nous voyons que $\sqrt{2}$ peut donc être approché par les fractions : $f_1=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ ou mieux par $f_2=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\frac{7}{5}$. -# Intuitivement, quelle serait donc $f_3$ ? -# Et les suivantes ? -# Vérifier que $f_3$ est une meilleure approximation de $\sqrt{2}$ que ses prédécesseures. -# Recommencer l'opération avec $\sqrt{3}$ puis avec $\pi$. Quelle différence constate-t-on ? - Si $x$ est le nombre dont on veut calculer les premiers termes des fractions sans fin, on peut calculer ces termes en posant $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ puis en appliquant les règles de [?récurrence][[une règle de récurrence consiste, connaissant des états successifs d'une observation, d'une année à l'autre, d'un mois à l'autre, d'un instant au suivant..., à définir un état non pas par la connaissance d'une formule mais par la connaissance de l'état qui précède ; par exemple, les entiers impairs sont ceux qui suivent le précédent en ajoutant 2.... en partant de 1 ; comme quoi le point de départ de la récurrence est fondamental, si l'on utilise la même règle en partant de zéro, on obtient les entiers... pairs ;-)]] suivantes pour tout entier $n \geq 1$ : $(r_1)$ : - $q_{n+1} = {\rm E}\left({\frac{1}{e_n}}\right)$ où$ {\rm E}$ est la fonction partie entière[[c'est à dire qui à un décimal $x$ strictement compris entre deux nombres entiers successifs $n$ et $n+1$ associe $n$ : ${\rm E }:\,\,x \longrightarrow n$]] - $e_{n+1} = \frac{1}{e_n} - q_{n+1}$ avec $e_1 = x - {\rm E}(x)$ et $(r_2)$ : - $a_{n+1} = q_{n+1} \times a_n + a_{n-1}$ avec $a_0 = 1$, $a_1 = {\rm E}(x)$ - $b_{n+1}} = q_{n+1} \times b_n + b_{n-1}$ avec $b_0 = 0$, $b_1 = 1$ dès lors les fractions successives approchant $x$ sont données par $f_n=\frac{a_n}{b_n}$. Pour comprendre la notation : - si le nombre $p_n$ c'est le dernier $p$ calculé, le nombre $p_{n-1}$ c'est son prédécesseur (le $p$ précédent donc connu) et le nombre $p_{n+1}$, c'est son suivant (le $p$ nouveau que l'on calcule). -# Retrouver les résultats précédents en présentant les calculs en tableau. -# Essayer de programmer un tableur pour obtenir ces résultats.

Voir en ligne : Fractions continues

Post-scriptum

fraction continue, valeur approchée, récurrence, notation indicielle, successeur, prédécesseur, algorithme, développement décimal