Du nouveau dans l’éducation nationale : les professeurs de mathématique se bougent et inaugurent une nouvelle forme d’échanges professionnels.
L’équipe du projet Maths’Discut’ et l’APMEP ont mis sur pied des « Rencontres avec l’APMEP » sur un principe d’échanges sur un forum (on dit du clavardage dans les foyers des arpents de neige abandonnés).
La première rencontre a eu lieu JEUDI 15 FÉVRIER de 17 H à 19 H avec comme première invitée Claudine Schwartz.
À quand l’uniformisation de la définition de la médiane ? En lycée, on utilisait la valeur de la série pour la moitié des effectifs au moins, en collège je retrouve la moitié exacte de chaque côté. Que vont penser ces élèves quand on va leur changer la définition ? ce n’est pas sérieux !!!
C. Schwartz
Il y a des séries pour lesquelles on ne peut pas trouver de valeur où il y a la moitié exacte des effectifs de chaque coté ; par exemple, la série 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5. C’est ce qui complique un peu la définition.
C’est bien d’avoir la notion intuitive que la médiane coupe la série en deux, mais une définition formelle ne peut pas être aussi simple.
La définition de la médiane au lycée a été le sujet de nombreuses discussion ....il y a eu un document à ce propos, consultable.
Des rumeurs font état d’une introduction à la probabilité dans les nouveaux programmes de 3ème mis en place en septembre 2008. Comment accueillez-vous cette éventualité ?
C. Schwartz
J’ai cru comprendre qu’il s’agissait d’employer le terme probabilité ; si on travaille sur les dés, par exemple, on dit qu’il y a une chance sur 6 pour chaque face et en pratique, sur n lancers, il n’y a pas exactement n/6 fois chaque face ; il est interessant de faire comprendre que le 1/6 est une notion théorique, une chance théorique et qu’ on appelle aussi probabilité. On doit arriver à manipuler ainsi le terme de probabilité sans pour autant en donner une définition et la définition, après ces travaux préparatoires, viendrait alors en seconde.
Comment voyez-vous l’utilisation de votre site STATISTIX avec des élèves ?
C. Schwartz
Statistix se propose de mettre à disposition des ressources variées, pour les enseignants de collège et de lycée. Certaines ressources devraient être facilement reprises et adaptées par des enseignants pour leurs élèves, notamment celles qui concernent les expérimentations en classe (il n’y en a pas encore beaucoup car c’est long à faire). L’objectif est, à long terme que ce site soit en partie alimenté par les professeurs de terrain donc propose une large palette d’activités et de thèmes pour les classes : je profite de ce forum et de cette question pour lancer un appel à participation !
Certains articles proposent des thèmes à partir desquels les enseignants peuvent construire des activités. Certains textes d’auteurs contemporains ou non peuvent être proposés à la lecture des élèves dans certaines classes, mais d’autres ne concernent que les enseignants pour leur formation et leur culture.
Nous allons mettre quelque part sur le site les principes de notre travail ; en voici une rédaction qui n’est pas définitive mais traduit l’esprit dans lequel nous travaillons.
1- Le projet Statistix a pour objet l’enseignement de la statistique de l’école au lycée : protocoles expérimentaux, statistique descriptive, modélisation, théorie des probabilités, simulation etc.
2- La pédagogie est celle de la démarche d’investigation, décrite et mise en œuvre dans le projet La Main à la Pâte : le questionnement, l’expérimentation, l’observation sont premiers, la théorie vient ensuite.
3- Le noyau du site est constitué d’exemples choisis pour leur simplicité, la qualité de la problématique qu’ils illustrent, les concepts statistiques qu’ils d’éclairent, leur histoire ou leur lien avec le monde actuel. Les champs abordés sont variés : de la vie courante à la statistique publique et industrielle et à la recherche. Le site ne propose pas de cours, et s’installe dans un rapport de complémentarité avec de tels documents.
4- Le projet s’inscrit dans une démarche résolument pluridisciplinaire ; la majorité des documents publiés sur le site doivent être lisibles par des professeurs d’au moins deux disciplines différentes.
5- Avant publication sur le site, les documents feront l’objet d’une validation par des spécialistes du domaine concerné (médecins, démographes, sociologues, etc.).
6- Lorsque les activités et les thèmes proposés s’inscrivent dans le cadre des programmes actuels de l’enseignement primaire ou secondaire français, on en fera mention, sans pour autant que ces programmes dessinent les limites des sujets ou concepts abordés.
7- Les documents publiés sont téléchargeables. Ils pourront être adaptés par les enseignants selon leurs besoins. Ils peuvent être repris par les auteurs de manuel scolaire, sous réserve de citer leur origine et le nom de leurs auteurs.
Toutes suggestions, commentaires et critiques sont les bienvenus !
Peut-on distribuer à nos élèves votre texte "l’énigme de Sophie" ?
C. Schwartz
Vous pouvez bien sûr distribuer ce texte à vos élèves.
Le lien entre statistique est proba est extremement compliqué : la fréquence de pile en lançant une pièce demonnaie conduit à fabriquer une fréquence théorique, comme la surface d’une table ou d’un lac conduit à fabriquer un plan théorique. Puis les théorèmes compliqués de convergence démontrent qu’en cas de répétitions indépendantes d’une expérience suivant une loi donnée, les fréquences convergent vers les probabilités, ce qui justifie a posteriori l’approche fréquentiste. En plus de ça, on utilise une sorte de modélisation à l’envers : la simulation est une représentation concrète d’un modèle théorique. Ce va et vient entre réalité et théorie, ( qui pourtant est identique en géométrie....!) me paraît très délicat à enseigner. Qu’en pensez-vous , claudine ?
C. Schwartz
Les modèles sont des objets théoriques, comme les nombre...réels. Les simulations nous montrent certains aspects des modèles qu’on ne sait pas toujours voir autrement (les simulations permettent d’observer et d’expérimenter sur des modèles) ; on va ensuite, pour la modélisation, utiliser les propriétés de convergence établies dans les modèles et les aspects de la simulation qui peuvent être confrontés à ce que l’on observe dans la nature.
Bon, mais ce n’est pas simple à enseigner, c’est même très délicat : serait-ce une raison pour y renoncer ? Je ne crois pas que ce soit votre avis ne serait-ce que parce que c’est un défi à relever. On peut commencer par des exemples très modestes (des situations faisant intervenir la somme de lois équiréparties donne lieu à des problèmes de modélisation intéressants pour des élèves...)
N’aurait-il pas été plus simple, en particulier pour les élèves, de poser une même définition des divers quantiles : la première valeur de la série qui atteint ou dépasse la fréquence cumulée correspondante, afin d’éviter d’engendre des « erreurs » qui ne sont que des confusions sans grande importance (puisque sur de grandes séries, toutes les définition se rejoignent) ?
C. Schwartz
Si on a abordé au collège des notions intuitives de médiane comme une valeur qui coupe la série en deux, ce serait effectivement bien, comme vous le dites, de poser cette définition des quantiles en seconde, et de signaler que pour la médiane, cela correspond le plus souvent à ordonner la série et si elle a 2n+1 termes, prendre la valeur du n+1 ème terme ; si elle a 2n termes, on prend aussi souvent la moyenne de n ème et du n+1 ème terme, ce qui en général, pour de grandes séries, ne donne pas de résultats sensiblement différent.
De toutes façons, le programme de seconde en statistique devra être modifié en fonction de ce qui se fait en collège.
Je ne sais pas si cela aurait été plus simple de faire ainsi en 2002... L’idée est de montrer comment se servir de quelques quantiles et de trouver les bonnes applications et il faudrait éviter que cela tourne à des exercices répétitifs de calculs de quantiles dont on ne fait rien.
Je souscris à votre remarque en même temps que je voudrais expliciter ma gêne :
en prenant pour la médiane, dans le cas d’effectifs pairs, la moyenne des deux valeurs centrales, on introduit dans l’esprit de beaucoup d’élèves une confusion moyenne/médiane alors que nous cherchons à dissocier les deux idées ;
en acceptant, dans ce même cas, un nombre qui n’est pas une valeur recensée, nous affaiblissons l’idée que grosso-modo nous cherchons des valeurs existantes pour les quantiles alors que « l’individu moyen » n’existe pas (je ne me place pas sur un niveau mathématique mais devant les problèmes de compréhension de nos élèves).
Gabriel
Pourquoi prendre la moyenne du terme n et du terme n+1 ? , c’est une interpolation linéaire et un choix arbitraire ! On ne sait rien sur l’évolution entre les termes n et n+1.
C. Schwartz
Compte tenu de toutes ces discussions, je crois qu’on pourrait vraiment, aujourd’hui, converger au lycée, dès la seconde, vers une définition de la médiane qui soit celle des quantiles (la plus petite valeur m telle qu’au moins 50% des termes de la série soient inférieurs ou égaux).
Mais comment parler de la médiane au collège ? On pourrait préparer le terrain et déterminer la médiane dans divers cas sans formaliser la définition ? Avez-vous des idées là dessus ?
Pour les séries ayant un nombre pair de valeurs, prendre le milieu est une pure convention qui était adoptée dans certaines études, mais à mon avis, l’interpolation linéaire n’en constituait pas une justification. Cette convention avait cours quand on ne diposait pas des outils de stockage de données qu’on a aujourd’hui sur un ordinateur portable.
Pourquoi ne pas travailler au collège uniquement avec des séries utilisant des caractères discrets, et non regroupés en classes (pour ne pas dire des séries à "caractère continu"), et réserver ce domaine pour les classes de seconde, où précisément on commence à apprendre la notion d’intervalle ? Des débats passionnants pourraient s’intaurer, justement sur la notion de réel, et la médiane obtenue par interpolation linéaire pourrait trouver son sens.
C. Schwartz
Une variable (ou caractère) continue est une variable qui prend ses valeurs dans un sous ensemble des réels -les valeurs de ces variables sont ainsi des nombres et non des intervalles ; les mesures que les élèves de collège font en physique (masses, volumes, tensions intensités, etc.) sont des caractères continus et ce serait intéressant que le professeur de maths puisse reprendre les mesures des élèves pour faire dessus un travail statistique. Donc cela me paraîtrait bien dommage de se limiter au collège aux caractères discrets.
La médiane d’une série de données correspondant à un caractère continu ne s’obtient pas par interpolation linéaire et il n’y a pas de raisons de faire cette estimation de la médiane d’une série. Si on ne dispose pas des valeurs de la série, mais simplement de leur regroupement en classes, alors parler d’une classe médiane me parait le plus pertinent. Les ordinateurs peuvent traiter un très grand nombre de données continues sans les regrouper en classe et l’interpolation linéaire ne correspond ni à une définition de la statistique, ni à une pratique d’estimation d’une médiane théorique.
En BTS, quasiment tous les exemples dont on dispose sont regroupés en classe. Tant qu’on parlera de LA médiane d’une série, on sera coincés... Idem pour l’intervalle interquartile.
La médiane est définie comme correspondant à une fréquence cumulée croissante de 50%. Si on veut en donner une valeur approchée, que proposez vous comme méthode ?
C. Schwartz
Je ne comprends pas ce que signifie : en BTS, on ne dispose que de données regroupées en classe. Ne conviendrait-il pas de chercher des données qui ne le sont pas ?
Comme je vous l’ai dit, si vous ne diposez que de classe, parler de classe médiane me parait suffisant dans ce cas.
Pourquoi chercher des données qui ne sont pas regroupées en classes, si l’usage dans les matières techniques est de les regrouper en classes ?
Pourquoi garder dans les programmes la notion de séries regroupées en classes si c’est obsolète ?
C. Schwartz
Quand on recueille effectivement des données, elles ne sont en général pas en classe. Les regrouper en classe constitue un traitement de ces données, le plus souvent préalable à la construction d’histogrammes. Et la définition des classes est en général l’objet d’un choix parmi d’autres.
Une caricature pour illustrer ce que je voudrais dire : se limiter à des données regroupées par classe pour faire de la stat, c’est un peu comme si, pour apprendre la cuisine, on se limitait aux plats congelés.
Faut-il vraiment, auprès de nos élèves, nous étendre sur le distingo entre caractère continu donnant des valeurs discrètes et caractère discret ? Un appareil de mesures physique donne nécessairement des mesures décimales et non des mesures réelles... Pour mieux me faire comprendre, je crois que très peu de nos élèves de seconde, et sans doute quasiment aucun au collège, ne comprend vraiment ce qu’est un nombre réel (sans doute que nos programmes ne sont pas écrits pour construire cette idée).
C. Schwartz
Je n’avais pas bien compris votre question je crois. Il ne s’agit effectivement pas de disserter sur la notion de nombre réel dans ce cadre.
Il peut-être utile parfois de ne pas ranger dans la même catégorie le nombre d’enfants d’une famille et le poids ou la taille des dits enfants ; en effet, on ne connait pas a priori la précision de l’instrument de mesure et c’est donc délicat de considérer que c’est à valeurs discrètes. Mais bien sur, il ne faut pas que cette distinction entre discret et continu fasse l’objet de grands discours théoriques . Ce qui me parait surtout utile, c’est de distinguer les variables catégorielles (CSP, couleur des yeux, etc) des autres .
Peut-être au collège, plutôt que de parler de discret ou pas discret, on devrait remplacer par : les valeurs de la séries peuvent-elles être additionnées ?
Qu’en pensez-vous ?
C. Schwartz
Quand même, j’ai bien envie de poser une petite question, très classique :
Une compagnie d’aviation affiche un taux de remplissage de ses avions de 50 %... et pourtant, vous et vos proches, interrogés sur le sujet, vous n’avez pris que des avions presque pleins. Comment cela se fait-il ?
Comment expliquez-vous cela à vos élèves de lycée ?
Rendez-vous sur Statistix dans quelques jours pour une ou des réponses (les vôtres, les nôtres...)
les avions vides, bien sûr, ....il n’y a pas grand monde qui les prend, alors on ne les connait pas !! il n’y a que les pilotes et les hotesses de l’air qui peuvent savoir qu’il y a des avions vides !!
c’est eux qu’ls audrait interroger pour savoir...
Pour ceux qui ne le savent pas, le clavardage est un joli néologisme de nos amis Québécois pour désigner le bavardage au clavier que nos amis anglophones désignent par chat (et clavarder est différent de tchatcher).
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Dernière mise à jour : lundi 7 septembre 2015